EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Consideremos a seguinte situação:
A figura seguinte representa parte de um escritório. As duas salas quadradas e o
corredor retangular têm, juntos, 40 m2 de área. Cada sala tem x metros de lado e
o corredor tem 1 m de largura. Qual é a medida x de cada sala quadrada?
A área de cada sala é dada por x2. A área do corredor é dada por 1 · 2x ou 2x. De
acordo com os dados do problema, podemos escrever a equação:
Obtivemos, então, uma equação que não é do 1º grau na incógnita x, pois existe
um termo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2.
Equações desse tipo são denominadas equações de 2º grau ou equações
quadráticas.
Grau de uma equação com uma incógnita
Equações de 1º grau 2x + 5 =13 e
3
5
2
x + = x
Equações de 2º grau x2 +1 =10 e x2 − 2x +1 = 0
Equações de grau superior a dois 2x3 =16 e x3 + x2 + 2x − 3 = 0
Quando, ao reduzirmos os termos semelhantes, todos os expoentes da incógnita
forem números naturais, o maior desses expoentes é que determinará o grau de
uma equação com uma incógnita.
2
Definições
• Denomina-se equações de 2º grau na incógnita x toda equação da forma
ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c são números reais e a ≠ 0.
• A igualdade ax2 + bx + c = 0 é chamada de forma geral da equação do 2º grau.
• Os números reais a, b, c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a
equação for na incógnita x:
a é sempre o coeficiente do termo em x2
b é sempre o coeficiente do termo em x
c é o coeficiente ou termo independente de x
Equação completa e equação incompleta
Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou
c = 0. Assim:
• Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação de 2º grau se diz completa.
Exemplos:
a) 5x2 − 8x + 3 = 0 (a = 5, b = −8,c = 3)
b) y2 +12y + 20 = 0 (a = 1, b = 12,c = 20)
• Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação de 2º grau se diz incompleta.
Exemplos:
a) x2 − 81= 0 (a =1, b = 0, c = −81)
b) 10t2 + 2t = 0 (a =10, b = 2, c = 0)
c) 5y2 = 0 (a = 5, b = 0, c = 0)
3
Raízes ou soluções de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação é encontrar suas raízes ou soluções.
Raiz ou solução de uma equação é o valor que atribuído à incógnita torna a
sentença matemática verdadeira.
Por exemplo, as raízes ou soluções da equação do 2º grau x2 − 5x + 6 = 0 são
2 e 3, pois esses valores são os números que tornam a sentença verdadeira.
Indicamos as raízes assim: x′ = 2 e x′′ = 3 .
Veja:
Para
x′ = 2 ⇒ 22 − 5 ⋅ 2 + 6 = 4 −10 + 6 = 0
x′′ = 3 ⇒ 32 − 5⋅3 + 6 = 9 −15 + 6 = 0
Resolução de equações de 2º grau incompletas
1º Caso: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0, ou seja, ax2 + c = 0
Exemplos:
a) Qual é a medida de cada lado de uma região quadrada com área de 144 cm2?
12
144
144
144
2
= ±
= ±
=
⋅ =
l
l
l
l l
Como l indica medida de comprimento, “desprezamos” o valor
negativo e ficamos apenas com o valor l = 12.
Então, cada lado da região quadrada mede 12 cm.
4
b)
7
49
49
2
98
2 98
2 98 0
2
2
2
2
= ±
= ±
=
=
=
− =
y
y
y
y
y
y
Raízes:
y′ = −7 e y′′ = 7
S = {− 7, 7}
c)
2 3
2 3
12
12
3
36
3 36
3 36 0
2
2
2
2
2
= ±
= ± ⋅
= ±
=
=
=
− =
x
x
x
x
x
x
x
Raízes:
x′ = −2 3 e x′′ = 2 3
S = {− 2 3, 2 3}
d)
9
9
5
45
5 45
5 45 0
2
2
2
2
= ± −
= −
−
=
= −
+ =
x
x
x
x
x
Não existe número real
para x, ou seja, a
equação dada não tem
raiz real.
S = ∅
2º Caso: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c = 0, ou seja, ax2 = 0
Exemplos:
a)
0
0
3
0
3 0
2
2
2
= ±
=
=
=
y
y
y
y
Raízes: y′ = 0 e y′′ = 0 ou seja
y′ = y′′ = 0
S = {0}
b)
0
0
5
0
5 0
2
2
2
= ±
=
−
=
− =
x
x
x
x
Raízes: x′ = 0 e x′′ = 0 ou seja
x′ = x′′ = 0
S = {0}
5
3º Caso: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0, ou seja, ax2 + bx = 0
Exemplos:
a) Qual é o número que tem o dobro de seu quadrado igual ao seu quádruplo?
x: número procurado
x2: quadrado do número
4x: quádruplo do
número
2
2
4
2 4
0 ou 2 4 0
(2 4) 0
2 4 0
2 4
2
2
=
=
=
= − =
− =
− =
=
x
x
x
x x
x x
x x
x x
Verificando:
Para x = 0
0 0
2 0 4 0
2 4
2
2
=
⋅ = ⋅
x = x
Para x = 2
8 8
2 2 4 2
2 4
2
2
=
⋅ = ⋅
x = x
Portando, existem dois números que satisfazem as condições da questão: 0 e 2.
b)
3
4
12
4 12
0 ou 4 12 0
(4 12) 0
4 12 0
4 12 0 ( 1)
4 12 0
2
2
2
=
=
=
= − =
− =
− =
− + = −
− + =
y
y
y
y y
y y
y y
y y
y y
Raízes: y′ = 0 e y′′ = 3
S = {0, 3}
Para facilitar os cálculos, sempre que o
coeficiente do temo a for negativo, podemos
obter uma equação equivalente com sinais
trocados multiplicando ambos os membros
por –1.
6
Quadro-resumo
Resolução de equações incompletas do 2º grau em R
ax2 + bx + c = 0, com a, b e c reais e a ≠ 0
• b = 0 e c ≠ 0 ax2 + c = 0 : A equação não tem raiz real ou tem duas raízes
reais distintas e opostas
• b = 0 e c = 0 ax2 = 0 : A equação tem sempre duas raízes reais e iguais a zero
• b ≠ 0 e c = 0 ax2 + bx = 0: A equação tem sempre duas raízes reais distintas
sendo o zero uma delas
Fatoração: trinômio quadrado perfeito
Vamos recordar:
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 −12x + 9
Então, a expressão 9x2 − 30x + 25 pode ser fatorada em (3x − 5)2 .
(3x − 5)2 = (3x)2 − 2 ⋅ 3x ⋅5 + 52 = 9x2 − 30x + 25
7
Resolução de equações de 2º grau completas
1º Caso: ax2 + bx + c = 0, é uma equação do 2º grau completa e seu primeiro
membro é um trinômio quadrado perfeito
Exemplos:
a)
4
4 0
4 0
( 4) 0
8 16 0
2
2
= −
+ =
+ = ±
+ =
+ + =
y
y
y
y
y y
Raízes: y′ = −4 e y′′ = −4 ou seja:
y′ = y′′ = −4
S = {− 4}
b)
4
1
4 1
4 1 0
4 1 0
(4 1) 0
16 8 1 0
2
2
=
=
− =
− = ±
− =
− + =
x
x
x
x
x
x x
Raízes:
4
e 1
4
x′ = 1 x′′ = ou seja:
4
x′ = x′′ = 1
=
4
S 1
8
2º Caso: ax2 + bx + c = 0, é uma equação do 2º grau completa e seu primeiro
membro não é um trinômio quadrado perfeito
Exemplos:
a) x2 + 6x − 7 = 0
• x2 + 6x − 7 = 0 não é um trinômio quadrado perfeito
• Para obter um trinômio quadrado perfeito foi somado 9 a x2 + 6x
• Para manter a igualdade foi somado 9 também a 7
• Com o “completamento do quadrado” podemos resolver a equação inicial
3 4
3 16
( 3) 16
6 9 7 9
6 7
6 7 0
2
2
2
2
+ = ±
+ = ±
+ =
+ + = +
+ =
+ − =
x
x
x
x x
x x
x x
1
4 3
3 4
=
= −
+ =
x
x
x
ou
7
4 3
3 4
= −
= − −
+ = −
x
x
x
Raízes: x′ =1e x′′ = −7
S = {− 7, 1}
9
b) x2 + 4x −12 = 0
2 4
2 16
( 2) 16
4 4 12 4
4 12
4 12 0
2
2
2
2
+ = ±
+ = ±
+ =
+ + = +
+ =
+ − =
x
x
x
x x
x x
x x
2
4 2
2 4
=
= −
+ =
x
x
x
ou
6
4 2
2 4
= −
= − −
+ = −
x
x
x
Raízes: x′ = 2 e x′′ = −6
S = {− 6, 2}
c) x2 − 8x +18 = 0
( 4) 2
8 16 18 16
8 18
8 18 0
2
2
2
2
− = −
− + = − +
− = −
− + =
x
x x
x x
x x
Não existe valor real para x.
S = ∅
10
Fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara
Generalizando a idéia de “complemento de quadrado”, podemos chegar a uma
fórmula para resolver equações de 2º grau.
ax2 + bx + c = 0
Δ = b2 − 4ac (discriminante da equação do 2º grau)
a
x b
2
− + Δ
′ =
a
x b
2
− ± Δ
=
a
x b
2
− − Δ
′′ =
Exemplos:
a) x2 − 3x −18 = 0 (quando Δ > 0)
x2 − 3x −18 = 0
(a =1, b = −3, c = −18)
81
9 72
( 3) 4 1 ( 18)
4
2
2
Δ =
Δ = +
Δ = − − ⋅ ⋅ −
Δ = b − ac
a
x b
2
− ± Δ
=
2 1
( 3) 81
⋅
− − ±
x = 6
2
12
2
3 9 = =
+
x′ =
2
3 ± 9
x =
3
2
6
2
3 9 = −
−
=
−
x′′ =
S = {− 3, 6} Duas raízes reais e diferentes
11
b) 4x2 −12x + 9 = 0 (quando Δ = 0)
4x2 −12x + 9 = 0
(a = 4, b = −12, c = 9)
0
144 144
( 12) 4 4 9
4
2
2
Δ =
Δ = −
Δ = − − ⋅ ⋅
Δ = b − ac
a
x b
2
− ± Δ
=
2 4
( 12) 0
⋅
− − ±
x =
2
3
8
12
8
12 0 = =
+
x′ =
8
12 ± 0
x =
2
3
8
12
8
12 0 = =
−
x′′ =
=
2
S 3 Duas raízes reais e iguais
12
c) 5x2 − 3x +1 = 0 (quando Δ < 0)
5x2 − 3x +1 = 0
(a = 5, b = −3, c =1)
11
9 20
( 3) 4 5 1
4
2
2
Δ = −
Δ = −
Δ = − − ⋅ ⋅
Δ = b − ac
a
x b
2
− ± Δ
=
2 5
( 3) 11
⋅
− − ± −
x =
10
3 ± −11
x =
S = ∅ Não tem raiz real Impossível em R.
Quadro-resumo
Resolução de equações de 2º grau pela chamada fórmula de Bháskara
ax2 + bx + c = 0, com a, b e c reais e a ≠ 0
Coeficientes: a, b e c
Discriminante: Δ = b2 − 4ac
Raízes reais (se existirem):
a
x b
2
− + Δ
′ = e
a
x b
2
− − Δ
′′ =
Δ > 0 (positivo): duas raízes reais distintas
Valor do discriminante: Δ = 0 (nulo): duas raízes reais iguais
Δ < 0 (negativo): nenhuma raiz real
13
Estudando as raízes da equação de 2º grau
Exemplos:
a) Verificar se o número − 5 é raiz da equação 2x2 + 9x − 5 = 0 .
Para x = −5 2 ⋅52 + 9 ⋅ 5 − 5 = 0 50 + 45 − 5 = 0 0 = 0 (verdadeiro)
Logo, o número − 5 é raiz da equação dada.
b) Sabe-se que o número 1 é raiz da equação ax2 − 6x +1 = 0 . Nessas
condições, calcular o valor do coeficiente a.
Como 1 é raiz da equação, vamos substituir a incógnita x pelo número 1:
5
5 0
6 1 0
12 6 1 1 0
=
− =
− + =
⋅ + ⋅ + =
a
a
a
a
Logo, o valor do coeficiente a é 5.
14
c) Sabe-se que a equação 5x2 − 4x + 2m = 0 tem duas raízes reais e distintas.
Nessas condições, determinar o valor real de m.
A equação tem duas raízes reais diferentes quando Δ > 0.
Vamos determinar Δ :
5x2 − 4x + 2m = 0
(a = 5, b = −4, c = 2m)
m
m
b ac
16 40
( 4) 4 5 2
4
2
2
Δ = −
Δ = − − ⋅ ⋅
Δ = −
De acordo com o problema, Δ > 0; daí:
5
2
40
16
40 16
40 16 ( 1)
16 40 0
<
<
<
− > − −
− >
m
m
m
m
m
Logo, devemos ter
5
m < 2 .
inequação de 1º grau na incógnita m
15
Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax² + bx + c = 0
Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, e sejam x′ e x′′ as raízes
reais dessa equação.
Entre essas raízes x′ e x′′ e os coeficientes a, b e c da equação existem duas
relações importantes:
1ª Relação: Em toda equação de 2º grau onde x′ e x′′ são raízes reais, temos
que
a
x x b −
′ + ′′ =
2ª Relação: Em toda equação de 2º grau onde x′ e x′′ são raízes reais, temos
que
a
x′ ⋅ x′′ = c
Exemplos:
a) A equação 3x2 − 8x − 3 = 0 apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem
resolver a equação, determinar a soma e o produto dessas duas raízes.
3x2 − 8x − 3 = 0
(a = 3, b = −8, c = −3)
=
− −
=
−
′ + ′′ =
3
( 8)
a
x x b
3
8
=
−
′ ⋅ ′′ = =
3
3
a
x x c −1
16
b) O produto das raízes reais da equação 8x2 − 9x + c = 0 é igual a
4
3 . Nessas
condições, calcular o valor do coeficiente c.
8x2 − 9x + c = 0
(a = 8, b = −9, c = c)
Pela relação do produto, podemos escrever:
8
c
a
x′ ⋅ x′′ = c = (1)
De acordo com os dados do problema, temos:
4
x′ ⋅ x′′ = 3 (2)
Comparando (1) e (2), podemos escrever a equação:
6
4
24
4 24
4
3
8
=
=
=
=
c
c
c
c
Logo, devemos ter c = 6.
Escrevendo uma equação de 2º grau quando conhecemos as duas raízes
Se indicarmos por S a soma das raízes ( x′ + x′′ = S ) e por P o produto dessas
raízes ( x′ ⋅ x′′ = P), poderemos escrever a equação na forma:
x2 − Sx + P = 0
Essa equação nos permite escrever uma equação de 2º grau na variável x quando
são dadas as raízes x′ e x′′ .
17
Exemplos:
a) As raízes reais de uma equação de 2º grau, na incógnita x, são os números
reais 7 e –3. Escrever, então, essa equação.
S = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4
P = 7 ⋅ (−3) = − 21
4 21 0
4 ( 21) 0
0
2
2
2
− − =
− + − =
− + =
x x
x x
x Sx P
Logo, a equação procurada é x2 − 4x − 21 = 0.
Verificação:
x2 − 4x − 21 = 0
(a =1, b = −4, c = −21)
100
16 84
( 4) 4 1 ( 21)
4
2
2
Δ =
Δ = +
Δ = − − ⋅ ⋅ −
Δ = b − ac
a
x b
2
− ± Δ
=
2 1
( 4) 100
⋅
− − ±
x = 7
2
14
2
4 10 = =
+
x′ =
2
4 ±10
x =
3
2
6
2
4 10 = −
−
=
−
x′′ =
S = {− 3,7}
18
b) Vamos escrever a equação de 2º grau, na incógnita x, sabendo que as raízes
dessa equação são os números reais − 3 + 3 e − 3 − 3 7.
S = (−3 + 3) + (−3 − 3) = −3 + 3 − 3 − 3 = −3 − 3 = − 6
S = (−3 + 3) ⋅ (−3 − 3) = (−3)2 − ( 3)2 = 9 − 3 = 6
6 6 0
( 6) 6 0
0
2
2
2
+ + =
− − + =
− + =
x x
x x
x Sx P
Logo, a equação procurada é x2 + 6x + 6 = 0.
Resolvendo equações biquadradas
Denomina-se equação biquadrada na incógnita x, toda equação da forma
ax4 + bx2 + c = 0 , onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
São exemplos de equações biquadradas:
1) x4 −10x2 + 9 = 0
2) x4 − 5x2 + 4 = 0
3) 9x4 − 6x2 = 0
As equações biquadradas são equações incompletas do 4º grau, desprovidas dos
termos em que a incógnita teria expoente ímpar.
Sua resolução é feita por meio de equações de 2º grau. Veja o procedimento:
• substitua x2 por p e, conseqüentemente, x4 por p2 ;
• resolva a equação do 2º grau obtida;
• como p corresponde a x2 , determine os valores de x usando novamente
equações de 2º grau.
19
Exemplos:
a) 4x4 −13x2 + 3 = 0
Fazemos x2 = p e x4 = p2 .
4 p2 −13p + 3 = 0
(a = 4, b = −13, c = 3)
121
169 48
( 13) 4 4 3
4
2
2
Δ =
Δ = −
Δ = − − ⋅ ⋅
Δ = b − ac
a
p b
2
− ± Δ
=
2 4
( 13) 121
⋅
− − ±
p = 3
8
24
8
13 11 = =
+
p′ =
8
13 ±11
p =
4
1
8
2
8
13 11 = =
−
p′′ =
Como x2 = p , temos:
3
2 3
2
= ±
=
= ′
x
x
x p
e
2
1
4
1
4
2 1
2
= ±
= ±
=
= ′′
x
x
x
x p
Então, as raízes reais da equação 4x4 −13x2 + 3 = 0 são:
− 3 ,
2
− 1 ,
2
1 e 3 .
−
−
=
3
,
2
, 1
2
S 3, 1
20
b) x4 − 5x2 − 36 = 0
Fazemos x2 = p e x4 = p2 .
p2 − 5 p − 36 = 0
(a =1, b = −5, c = −36)
169
25 144
( 5) 4 1 ( 36)
4
2
2
Δ =
Δ = +
Δ = − − ⋅ ⋅ −
Δ = b − ac
a
p b
2
− ± Δ
=
2 1
( 5) 169
⋅
− − ±
p = 9
2
18
2
5 13 = =
+
p′ =
2
5 ±13
p =
4
2
8
2
5 13 = −
−
=
−
p′′ =
Como x2 = p , temos:
3
9
2 9
2
= ±
= ±
=
= ′
x
x
x
x p
e
4
2 4
2
= ± −
= −
= ′′
x
x
x p
Então, as raízes reais da equação x4 − 5x2 − 36 = 0 são:
− 3 e 3.
S = {− 3,3}
não existe x real
21
Resolvendo equações irracionais
Você já sabe que toda equação que apresenta a incógnita no radicando é
chamada equação irracional.
São exemplos de equações irracionais:
1) x = x
2) x −1 = x + 3
3) x − x = 2
4) x2 − 6x + 8 = 0
A resolução de uma equação irracional é feita elevando-se os dois membros da
equação a uma potência conveniente, a fim de que possamos transformá-la em
uma equação racional, que já sabemos resolver.
Exemplo:
22
a) Resolver, no conjunto R, a equação x + 5 = x −1.
Nesta equação devemos ter x ≥ −5 para que, no conjunto dos números reais, a
expressão x + 5 tenha sentido.
( ) ( )
3 4 0
3 4 0 ( 1)
5 2 1 0
5 2 1
5 1
2
2
2
2
2 2
− − =
− + + = −
+ − + − =
+ = − +
+ = −
x x
x x
x x x
x x x
x x
(a =1, b = −3, c = −4)
25
9 16
( 3) 4 1 ( 4)
4
2
2
Δ =
Δ = +
Δ = − − ⋅ ⋅ −
Δ = b − ac
a
x b
2
− ± Δ
=
2 1
( 3) 25
⋅
− − ±
x = 4
2
8
2
3 5 = =
+
x′ =
2
3 ± 5
x =
1
2
2
2
3 5 = −
−
=
−
x′′ =
Determinamos as raízes da equação de 2º grau. Para determinar as raízes da
equação irracional dada, precisamos fazer uma verificação com os valores
obtidos para a variável x, pois, ao elevar os dois membros da equação ao
quadrado, podemos encontrar raízes estranhas à equação dada.
Verificação:
Para x = 4 :
3 3
9 3
4 5 4 1
5 1
=
=
+ = −
x + = x −
Para x =1:
2 2
4 2
1 5 1 1
5 1
≠ −
= −
− + = − −
x + = x −
Logo, apenas o número 4 verifica a equação irracional dada.
Então: S = {4}
elevando os dois membros ao quadrado
23
Resolvendo sistemas de equações de 2º grau
Exemplo:
a) A diferença entre dois números reais é 10 e o produto deles, –16. Quais são
esses números?
Chamando de x e y esses números, temos: x − y =10 e x ⋅ y = −16.
Para determinar x e y devemos resolver o sistema de equações
16
10
= −
− =
xy
x y
x y
x y
= +
− =
10
10
10 16 0
10 16
(10 ) 16
16
2
2
+ + =
+ = −
+ ⋅ = −
= −
y y
y y
y y
xy
Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
y2 +10y +16 = 0
(a =1, b =10, c =16)
36
100 64
10 4 1 16
4
2
2
Δ =
Δ = −
Δ = − ⋅ ⋅
Δ = b − ac
a
y b
2
− ± Δ
=
2 1
10 36
⋅
− ±
y = 2
2
4
2
y′ = −10 + 6 = − = −
2
y = −10 ± 6
8
2
16
2
10 6 = −
−
=
− −
y′′ =
24
Com os valores obtidos para y, determinamos x:
Para y = −2:
8
10 2
10 ( 2)
10
=
= −
= + −
= +
x
x
x
x y
Para y = −8:
2
10 8
10 ( 8)
10
=
= −
= + −
= +
x
x
x
x y
Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados (8, –2) e (2, –8).
Então, S = {(8,−2),(2,−8)}
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