Teorema de Tales, Semelhança de Triângulos e Teorema de Pitágo

 

 

video aula

 

razão e proporção

* Orientações

  Em tutoriais anteriores, estudamos aspectos gerais sobre os temas abordados, definições e exemplos resolvidos. Serão iniciados a partir deste tutorial, intercalado com outros assuntos temáticos posteriores, uma série de questões oriundas de concursos e que foram resolvidas por professores de alto gabarito. Quando for possível será mostrada de qual concurso a questão foi retirada, tendo em vista alguns aspectos legais.

Algumas questões a princípio parecerão fáceis, mais é importante lembrar que o estudo está sendo feito em nível de 1º grau, por tanto alguns concursos podem ser de 1ª a 4ª série ou da 5ª a 8ª série.

Obs.: É importante que o estudo das questões seja feito de forma que as soluções não sejam vistas e que o estudante tente fazer apenas com os conhecimentos adquiridos anteriormente.

* Questões

1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.

Assunto: Razão e proporção.

Resolução:

Vamos igualar as razões.

8 = 2

X    7

2x = 8 x 7

2x = 56

X = 56/2

X = 28

Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7

2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 1:20, qual será o comprimento no desenho:

Assunto: Escala e noção de proporção.

Resolução:

Escala: 1

20

Sabendo que 1m = 100 cm.

Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.

O comprimento no desenho será:

500 x 1         = 500 / 20 =

         20

25 cm

Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.

3) Em uma sala de aula,  a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?

Assunto: Razão e proporção

Resolução:

Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.

x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)

x + y = 45 (Soma total de alunos)

x + y = 5 + 4  (Aplicação das propriedades das proporções)

  x           5

45/x = 9/5

45 x 5 = 9x

225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças

Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :

25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes

Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 5 moças

Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.

4) (FEDF-95 / Professor Nível 1) Um copo de suco corresponde a 250 ml. Uma professora fez suco para 48 copos, o que corresponde em litros, a:

a) 12,0

b) 15,2

c) 16,0

d) 20,4

e) 24,0

Assunto: Regra de três

Resolução:

1 copo ---------------> 250 ml

48 copos ------------> x

Resolvendo a regra de três acima :

1x = 48 x 250

X = 12000 ml

Como 12000 ml correspondem a 12 l (basta dividir 12.000/1000), logo a alternativa correta é a letra “a” = 12,00

Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.

5) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Um disco gira a 45 rotações por minuto. Em 4 segundos, o disco dá :

a) 3 voltas    b) 5 voltas    c) 6 voltas    d) 9 voltas    e) 12 voltas

Assunto: Regra de três

Obs.: É importante notar que 1 minuto é igual a 60s.

Resolução:

60 s ---------------> 45 voltas

4 s  ----------------> x

Resolvendo a regra de três acima :

60x = 45 x 5

60x = 180

X = 180/60

X = 3 voltas

Então a resposta correta da questão acima é a letra “a”.

6) Do meu salário líquido dedico:

25% ao aluguel,

30% à alimentação,

5% à compra de medicamento,

15% pagamento de mensalidades.

O resto que me sobre é R$ 550,00 para lazer. Desta forma pode-se afirmar que meu salário é no valor de :

a) R$ 1.200,00

b) R$ 785,00

c) R$ 2.200,00

d) R$ 2.250,00

e) R$ 650,00

Assunto: Porcentagem e regra de três

Somando-se as porcentagens dos gastos, temos: 25%+30%+5%+15% = 75%

Os R$ 550,00 representam os 25% do total de 100% da operação.

Montando uma regra de três:

550,00 -------> 25

X        -------> 100

25x = 55000

X = 55000/ 25

X = 2200

Então a resposta correta da questão acima é a letra “c”.

7) (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :

a) 19,5 %     b) 20%     c)  20,5%     d) 21%   e) 21,5%

Assunto: Regra de três e noção de porcentagem

Resolução:

Cenário 1:

1m -------> R$ 5,52

X   --------> R$ 126,96

5,52x = 126,96

X = 126,96 / 5,52

X = 23 m

Cenário 2:

1m --------> R$ 4,60

X   ---------> R$ 126,96

4,60x = 126,96

X = 126,96 / 4,60

X = 27,60

Temos então:

23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)

27,6 ---------> x  (Total do metro encontrado com preço menor)

23x = 100 x 27,6

23x = 2760

X = 2760 / 23

X = 120%

Desta forma: 120% - 100% = 20%

CORDEL SOBRE DROGAS

   Drogas

0 consumo no Brasil

Não para de aumentar

Temos que nos mover,

Para isso acabar.

 

Muitos jovens no Brasil

Consomem por diversão

Mais acabam se viciando,

E terminam na perdição.

 

Por isso é importante

A prevenção contra as drogas

Porque depois da primeira vez,

Ai sim você se empolga.

 

Vamos todos nos cuidar

Pra ninguém se viciar

Porque depois daí,

A sua vida vai acabar.

 

Acho muito importante

O apoio das autoridades

Em todos os lugares,

E em todas as cidades.

 

Também é necessário

O apoio das escolas

Porque tem muitas criança,

Por ai pedindo esmolas.

 

Também temos que contar

Com o apoio da “TV”

Porque ai fica mais fácil,

Pra todo mundo vê.

 

Muita gente descrimina

Quem é viciado

Mais isso tem solução,

Basta ser tratado.

 

Muitas crianças se viciam

As vezes por influência

Porque quem faz isso com alguém,

Não deve ter consciência.

 

Eu te dou um conselho

Pra você nunca usar

Porque depois disso,

Sua vida vai acabar.

 

Tenho muita fé em Deus

Dele acabar com isso

Acabarcomessasdrogas,                                                                  Destruir esse vicio.

 

Esse é meu cordel

Só pra você se ligar

Pra não usar drogas,

Nunca experimentar.

 

Quem consome droga

Não sabe o que tá fazendo

Pois ela destrói sua vida,

Pois ela é um veneno.

 

Vou mandar uma rima agora

Pra você se ligar

Não use drogas e

Nem tente experimentar.

 

Quem vende droga

É um bandido

E quem consome

Está perdido.

 

Você que está lendo agora

Nem se quer imaginou

Mais enquanto você lia,

Alguém já se viciou.

 

Não é só quem é pobre

Que pode ser viciado

Porque tem muita gente rica,

Que vira um drogado.

 

Com todo mundo ajudando

Podemos acabar com isso

Acabar com essas drogas,

E também com esse vicio.

 

A favela tem a fama

De ter mais viciados

Mais isso é mentira,

Eles estão em todo lado.

 

Eu fiz essa rima

Pra você se ligar

Porque toda essa droga,

Ela tem que acabar.

 

Componentes:

• Sidney Silva

• Roberto Romário

Relação das Raizes da Equação de 2°Grau

Relação das Raízes da Equação de 2º Grau

Em uma equação do 2º grau, as raízes resultantes das operações matemáticas dependem do valor do discriminante. As situações decorrentes são as seguintes:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes.

∆ = 0, a equação possui uma única raiz real.

∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

Na Matemática, o discriminante da equação do 2º grau é representado pelo símbolo ∆ (delta).

Quando existirem as raízes dessa equação, no formato ax² + bx + c = 0, elas serão calculadas de acordo com as expressões matemáticas:

Existe uma relação entre a soma e o produto dessas raízes, que é dada pelas seguintes fórmulas:

Por exemplo, na equação do 2º grau x² – 7x + 10 = 0 temos que os coeficientes valem:   a = 1, b = – 7 e c = 10.

Com base nesses resultados podemos observar que as raízes dessa equação são 2 e 5, pois 2 + 5 = 7 e 2 * 5 = 10.

Observe outro exemplo:

Vamos determinar a soma e o produto das raízes da seguinte equação: x² – 7x + 12 = 0.

As raízes da equação são 4 e 3, pois 4 + 3 = 7 e 4 * 3 = 12

Torcedores de Flamengo e Vasco

AULA DA SEMANA

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

Consideremos a seguinte situação:

A figura seguinte representa parte de um escritório. As duas salas quadradas e o

corredor retangular têm, juntos, 40 m2 de área. Cada sala tem x metros de lado e

o corredor tem 1 m de largura. Qual é a medida x de cada sala quadrada?

A área de cada sala é dada por x2. A área do corredor é dada por 1 · 2x ou 2x. De

acordo com os dados do problema, podemos escrever a equação:

Obtivemos, então, uma equação que não é do 1º grau na incógnita x, pois existe

um termo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2.

Equações desse tipo são denominadas equações de 2º grau ou equações

quadráticas.

Grau de uma equação com uma incógnita

Equações de 1º grau 2x + 5 =13 e

3

5

2

x + = x

Equações de 2º grau x2 +1 =10 e x2 − 2x +1 = 0

Equações de grau superior a dois 2x3 =16 e x3 + x2 + 2x − 3 = 0

Quando, ao reduzirmos os termos semelhantes, todos os expoentes da incógnita

forem números naturais, o maior desses expoentes é que determinará o grau de

uma equação com uma incógnita.

2

Definições

• Denomina-se equações de 2º grau na incógnita x toda equação da forma

ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c são números reais e a ≠ 0.

• A igualdade ax2 + bx + c = 0 é chamada de forma geral da equação do 2º grau.

• Os números reais a, b, c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a

equação for na incógnita x:

a é sempre o coeficiente do termo em x2

b é sempre o coeficiente do termo em x

c é o coeficiente ou termo independente de x

Equação completa e equação incompleta

Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou

c = 0. Assim:

• Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação de 2º grau se diz completa.

Exemplos:

a) 5x2 − 8x + 3 = 0 (a = 5, b = −8,c = 3)

b) y2 +12y + 20 = 0 (a = 1, b = 12,c = 20)

• Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação de 2º grau se diz incompleta.

Exemplos:

a) x2 − 81= 0 (a =1, b = 0, c = −81)

b) 10t2 + 2t = 0 (a =10, b = 2, c = 0)

c) 5y2 = 0 (a = 5, b = 0, c = 0)

3

Raízes ou soluções de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação é encontrar suas raízes ou soluções.

Raiz ou solução de uma equação é o valor que atribuído à incógnita torna a

sentença matemática verdadeira.

Por exemplo, as raízes ou soluções da equação do 2º grau x2 − 5x + 6 = 0 são

2 e 3, pois esses valores são os números que tornam a sentença verdadeira.

Indicamos as raízes assim: x′ = 2 e x′′ = 3 .

Veja:

Para

x′ = 2 ⇒ 22 − 5 ⋅ 2 + 6 = 4 −10 + 6 = 0

x′′ = 3 ⇒ 32 − 5⋅3 + 6 = 9 −15 + 6 = 0

Resolução de equações de 2º grau incompletas

1º Caso: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0, ou seja, ax2 + c = 0

Exemplos:

a) Qual é a medida de cada lado de uma região quadrada com área de 144 cm2?

12

144

144

144

2

= ±

= ±

=

⋅ =

l

l

l

l l

Como l indica medida de comprimento, “desprezamos” o valor

negativo e ficamos apenas com o valor l = 12.

Então, cada lado da região quadrada mede 12 cm.

4

b)

7

49

49

2

98

2 98

2 98 0

2

2

2

2

= ±

= ±

=

=

=

− =

y

y

y

y

y

y

Raízes:

y′ = −7 e y′′ = 7

S = {− 7, 7}

c)

2 3

2 3

12

12

3

36

3 36

3 36 0

2

2

2

2

2

= ±

= ± ⋅

= ±

=

=

=

− =

x

x

x

x

x

x

x

Raízes:

x′ = −2 3 e x′′ = 2 3

S = {− 2 3, 2 3}

d)

9

9

5

45

5 45

5 45 0

2

2

2

2

= ± −

= −

−

=

= −

+ =

x

x

x

x

x

Não existe número real

para x, ou seja, a

equação dada não tem

raiz real.

S = ∅

2º Caso: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c = 0, ou seja, ax2 = 0

Exemplos:

a)

0

0

3

0

3 0

2

2

2

= ±

=

=

=

y

y

y

y

Raízes: y′ = 0 e y′′ = 0 ou seja

y′ = y′′ = 0

S = {0}

b)

0

0

5

0

5 0

2

2

2

= ±

=

−

=

− =

x

x

x

x

Raízes: x′ = 0 e x′′ = 0 ou seja

x′ = x′′ = 0

S = {0}

5

3º Caso: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0, ou seja, ax2 + bx = 0

Exemplos:

a) Qual é o número que tem o dobro de seu quadrado igual ao seu quádruplo?

x: número procurado

x2: quadrado do número

4x: quádruplo do

número

2

2

4

2 4

0 ou 2 4 0

(2 4) 0

2 4 0

2 4

2

2

=

=

=

= − =

− =

− =

=

x

x

x

x x

x x

x x

x x

Verificando:

Para x = 0

0 0

2 0 4 0

2 4

2

2

=

⋅ = ⋅

x = x

Para x = 2

8 8

2 2 4 2

2 4

2

2

=

⋅ = ⋅

x = x

Portando, existem dois números que satisfazem as condições da questão: 0 e 2.

b)

3

4

12

4 12

0 ou 4 12 0

(4 12) 0

4 12 0

4 12 0 ( 1)

4 12 0

2

2

2

=

=

=

= − =

− =

− =

− + = −

− + =

y

y

y

y y

y y

y y

y y

y y

Raízes: y′ = 0 e y′′ = 3

S = {0, 3}

Para facilitar os cálculos, sempre que o

coeficiente do temo a for negativo, podemos

obter uma equação equivalente com sinais

trocados multiplicando ambos os membros

por –1.

6

Quadro-resumo

Resolução de equações incompletas do 2º grau em R

ax2 + bx + c = 0, com a, b e c reais e a ≠ 0

• b = 0 e c ≠ 0 􀃆 ax2 + c = 0 : A equação não tem raiz real ou tem duas raízes

reais distintas e opostas

• b = 0 e c = 0 􀃆 ax2 = 0 : A equação tem sempre duas raízes reais e iguais a zero

• b ≠ 0 e c = 0 􀃆 ax2 + bx = 0: A equação tem sempre duas raízes reais distintas

sendo o zero uma delas

Fatoração: trinômio quadrado perfeito

Vamos recordar:

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = 4x2 −12x + 9

Então, a expressão 9x2 − 30x + 25 pode ser fatorada em (3x − 5)2 .

(3x − 5)2 = (3x)2 − 2 ⋅ 3x ⋅5 + 52 = 9x2 − 30x + 25

7

Resolução de equações de 2º grau completas

1º Caso: ax2 + bx + c = 0, é uma equação do 2º grau completa e seu primeiro

membro é um trinômio quadrado perfeito

Exemplos:

a)

4

4 0

4 0

( 4) 0

8 16 0

2

2

= −

+ =

+ = ±

+ =

+ + =

y

y

y

y

y y

Raízes: y′ = −4 e y′′ = −4 ou seja:

y′ = y′′ = −4

S = {− 4}

b)

4

1

4 1

4 1 0

4 1 0

(4 1) 0

16 8 1 0

2

2

=

=

− =

− = ±

− =

− + =

x

x

x

x

x

x x

Raízes:

4

e 1

4

x′ = 1 x′′ = ou seja:

4

x′ = x′′ = 1

 

 

=

4

S 1

8

2º Caso: ax2 + bx + c = 0, é uma equação do 2º grau completa e seu primeiro

membro não é um trinômio quadrado perfeito

Exemplos:

a) x2 + 6x − 7 = 0

• x2 + 6x − 7 = 0 não é um trinômio quadrado perfeito

• Para obter um trinômio quadrado perfeito foi somado 9 a x2 + 6x

• Para manter a igualdade foi somado 9 também a 7

• Com o “completamento do quadrado” podemos resolver a equação inicial

3 4

3 16

( 3) 16

6 9 7 9

6 7

6 7 0

2

2

2

2

+ = ±

+ = ±

+ =

+ + = +

+ =

+ − =

x

x

x

x x

x x

x x

1

4 3

3 4

=

= −

+ =

x

x

x

ou

7

4 3

3 4

= −

= − −

+ = −

x

x

x

Raízes: x′ =1e x′′ = −7

S = {− 7, 1}

9

b) x2 + 4x −12 = 0

2 4

2 16

( 2) 16

4 4 12 4

4 12

4 12 0

2

2

2

2

+ = ±

+ = ±

+ =

+ + = +

+ =

+ − =

x

x

x

x x

x x

x x

2

4 2

2 4

=

= −

+ =

x

x

x

ou

6

4 2

2 4

= −

= − −

+ = −

x

x

x

Raízes: x′ = 2 e x′′ = −6

S = {− 6, 2}

c) x2 − 8x +18 = 0

( 4) 2

8 16 18 16

8 18

8 18 0

2

2

2

2

− = −

− + = − +

− = −

− + =

x

x x

x x

x x

Não existe valor real para x.

S = ∅

10

Fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara

Generalizando a idéia de “complemento de quadrado”, podemos chegar a uma

fórmula para resolver equações de 2º grau.

ax2 + bx + c = 0

Δ = b2 − 4ac (discriminante da equação do 2º grau)

a

x b

2

− + Δ

′ =

a

x b

2

− ± Δ

=

a

x b

2

− − Δ

′′ =

Exemplos:

a) x2 − 3x −18 = 0 (quando Δ > 0)

x2 − 3x −18 = 0

(a =1, b = −3, c = −18)

81

9 72

( 3) 4 1 ( 18)

4

2

2

Δ =

Δ = +

Δ = − − ⋅ ⋅ −

Δ = b − ac

a

x b

2

− ± Δ

=

2 1

( 3) 81

⋅

− − ±

x = 6

2

12

2

3 9 = =

+

x′ =

2

3 ± 9

x =

3

2

6

2

3 9 = −

−

=

−

x′′ =

S = {− 3, 6} Duas raízes reais e diferentes

11

b) 4x2 −12x + 9 = 0 (quando Δ = 0)

4x2 −12x + 9 = 0

(a = 4, b = −12, c = 9)

0

144 144

( 12) 4 4 9

4

2

2

Δ =

Δ = −

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ = b − ac

a

x b

2

− ± Δ

=

2 4

( 12) 0

⋅

− − ±

x =

2

3

8

12

8

12 0 = =

+

x′ =

8

12 ± 0

x =

2

3

8

12

8

12 0 = =

−

x′′ =

 

 

=

2

S 3 Duas raízes reais e iguais

12

c) 5x2 − 3x +1 = 0 (quando Δ < 0)

5x2 − 3x +1 = 0

(a = 5, b = −3, c =1)

11

9 20

( 3) 4 5 1

4

2

2

Δ = −

Δ = −

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ = b − ac

a

x b

2

− ± Δ

=

2 5

( 3) 11

⋅

− − ± −

x =

10

3 ± −11

x =

S = ∅ Não tem raiz real 􀃆 Impossível em R.

Quadro-resumo

Resolução de equações de 2º grau pela chamada fórmula de Bháskara

ax2 + bx + c = 0, com a, b e c reais e a ≠ 0

Coeficientes: a, b e c

Discriminante: Δ = b2 − 4ac

Raízes reais (se existirem):

a

x b

2

− + Δ

′ = e

a

x b

2

− − Δ

′′ =

Δ > 0 (positivo): duas raízes reais distintas

Valor do discriminante: Δ = 0 (nulo): duas raízes reais iguais

Δ < 0 (negativo): nenhuma raiz real

13

Estudando as raízes da equação de 2º grau

Exemplos:

a) Verificar se o número − 5 é raiz da equação 2x2 + 9x − 5 = 0 .

Para x = −5 􀃆 2 ⋅52 + 9 ⋅ 5 − 5 = 0 􀃆 50 + 45 − 5 = 0 􀃆 0 = 0 (verdadeiro)

Logo, o número − 5 é raiz da equação dada.

b) Sabe-se que o número 1 é raiz da equação ax2 − 6x +1 = 0 . Nessas

condições, calcular o valor do coeficiente a.

Como 1 é raiz da equação, vamos substituir a incógnita x pelo número 1:

5

5 0

6 1 0

12 6 1 1 0

=

− =

− + =

⋅ + ⋅ + =

a

a

a

a

Logo, o valor do coeficiente a é 5.

14

c) Sabe-se que a equação 5x2 − 4x + 2m = 0 tem duas raízes reais e distintas.

Nessas condições, determinar o valor real de m.

A equação tem duas raízes reais diferentes quando Δ > 0.

Vamos determinar Δ :

5x2 − 4x + 2m = 0

(a = 5, b = −4, c = 2m)

m

m

b ac

16 40

( 4) 4 5 2

4

2

2

Δ = −

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ = −

De acordo com o problema, Δ > 0; daí:

5

2

40

16

40 16

40 16 ( 1)

16 40 0

<

<

<

− > − −

− >

m

m

m

m

m

Logo, devemos ter

5

m < 2 .

􀃆 inequação de 1º grau na incógnita m

15

Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax² + bx + c = 0

Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, e sejam x′ e x′′ as raízes

reais dessa equação.

Entre essas raízes x′ e x′′ e os coeficientes a, b e c da equação existem duas

relações importantes:

1ª Relação: Em toda equação de 2º grau onde x′ e x′′ são raízes reais, temos

que

a

x x b −

′ + ′′ =

2ª Relação: Em toda equação de 2º grau onde x′ e x′′ são raízes reais, temos

que

a

x′ ⋅ x′′ = c

Exemplos:

a) A equação 3x2 − 8x − 3 = 0 apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem

resolver a equação, determinar a soma e o produto dessas duas raízes.

3x2 − 8x − 3 = 0

(a = 3, b = −8, c = −3)

=

− −

=

−

′ + ′′ =

3

( 8)

a

x x b

3

8

=

−

′ ⋅ ′′ = =

3

3

a

x x c −1

16

b) O produto das raízes reais da equação 8x2 − 9x + c = 0 é igual a

4

3 . Nessas

condições, calcular o valor do coeficiente c.

8x2 − 9x + c = 0

(a = 8, b = −9, c = c)

Pela relação do produto, podemos escrever:

8

c

a

x′ ⋅ x′′ = c = (1)

De acordo com os dados do problema, temos:

4

x′ ⋅ x′′ = 3 (2)

Comparando (1) e (2), podemos escrever a equação:

6

4

24

4 24

4

3

8

=

=

=

=

c

c

c

c

Logo, devemos ter c = 6.

Escrevendo uma equação de 2º grau quando conhecemos as duas raízes

Se indicarmos por S a soma das raízes ( x′ + x′′ = S ) e por P o produto dessas

raízes ( x′ ⋅ x′′ = P), poderemos escrever a equação na forma:

x2 − Sx + P = 0

Essa equação nos permite escrever uma equação de 2º grau na variável x quando

são dadas as raízes x′ e x′′ .

17

Exemplos:

a) As raízes reais de uma equação de 2º grau, na incógnita x, são os números

reais 7 e –3. Escrever, então, essa equação.

S = 7 + (−3) = 7 − 3 = 4

P = 7 ⋅ (−3) = − 21

4 21 0

4 ( 21) 0

0

2

2

2

− − =

− + − =

− + =

x x

x x

x Sx P

Logo, a equação procurada é x2 − 4x − 21 = 0.

Verificação:

x2 − 4x − 21 = 0

(a =1, b = −4, c = −21)

100

16 84

( 4) 4 1 ( 21)

4

2

2

Δ =

Δ = +

Δ = − − ⋅ ⋅ −

Δ = b − ac

a

x b

2

− ± Δ

=

2 1

( 4) 100

⋅

− − ±

x = 7

2

14

2

4 10 = =

+

x′ =

2

4 ±10

x =

3

2

6

2

4 10 = −

−

=

−

x′′ =

S = {− 3,7}

18

b) Vamos escrever a equação de 2º grau, na incógnita x, sabendo que as raízes

dessa equação são os números reais − 3 + 3 e − 3 − 3 7.

S = (−3 + 3) + (−3 − 3) = −3 + 3 − 3 − 3 = −3 − 3 = − 6

S = (−3 + 3) ⋅ (−3 − 3) = (−3)2 − ( 3)2 = 9 − 3 = 6

6 6 0

( 6) 6 0

0

2

2

2

+ + =

− − + =

− + =

x x

x x

x Sx P

Logo, a equação procurada é x2 + 6x + 6 = 0.

Resolvendo equações biquadradas

Denomina-se equação biquadrada na incógnita x, toda equação da forma

ax4 + bx2 + c = 0 , onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

São exemplos de equações biquadradas:

1) x4 −10x2 + 9 = 0

2) x4 − 5x2 + 4 = 0

3) 9x4 − 6x2 = 0

As equações biquadradas são equações incompletas do 4º grau, desprovidas dos

termos em que a incógnita teria expoente ímpar.

Sua resolução é feita por meio de equações de 2º grau. Veja o procedimento:

• substitua x2 por p e, conseqüentemente, x4 por p2 ;

• resolva a equação do 2º grau obtida;

• como p corresponde a x2 , determine os valores de x usando novamente

equações de 2º grau.

19

Exemplos:

a) 4x4 −13x2 + 3 = 0

Fazemos x2 = p e x4 = p2 .

4 p2 −13p + 3 = 0

(a = 4, b = −13, c = 3)

121

169 48

( 13) 4 4 3

4

2

2

Δ =

Δ = −

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ = b − ac

a

p b

2

− ± Δ

=

2 4

( 13) 121

⋅

− − ±

p = 3

8

24

8

13 11 = =

+

p′ =

8

13 ±11

p =

4

1

8

2

8

13 11 = =

−

p′′ =

Como x2 = p , temos:

3

2 3

2

= ±

=

= ′

x

x

x p

e

2

1

4

1

4

2 1

2

= ±

= ±

=

= ′′

x

x

x

x p

Então, as raízes reais da equação 4x4 −13x2 + 3 = 0 são:

− 3 ,

2

− 1 ,

2

1 e 3 .

 

  −

−

=

3

,

2

, 1

2

S 3, 1

20

b) x4 − 5x2 − 36 = 0

Fazemos x2 = p e x4 = p2 .

p2 − 5 p − 36 = 0

(a =1, b = −5, c = −36)

169

25 144

( 5) 4 1 ( 36)

4

2

2

Δ =

Δ = +

Δ = − − ⋅ ⋅ −

Δ = b − ac

a

p b

2

− ± Δ

=

2 1

( 5) 169

⋅

− − ±

p = 9

2

18

2

5 13 = =

+

p′ =

2

5 ±13

p =

4

2

8

2

5 13 = −

−

=

−

p′′ =

Como x2 = p , temos:

3

9

2 9

2

= ±

= ±

=

= ′

x

x

x

x p

e

4

2 4

2

= ± −

= −

= ′′

x

x

x p

Então, as raízes reais da equação x4 − 5x2 − 36 = 0 são:

− 3 e 3.

S = {− 3,3}

􀃆 não existe x real

21

Resolvendo equações irracionais

Você já sabe que toda equação que apresenta a incógnita no radicando é

chamada equação irracional.

São exemplos de equações irracionais:

1) x = x

2) x −1 = x + 3

3) x − x = 2

4) x2 − 6x + 8 = 0

A resolução de uma equação irracional é feita elevando-se os dois membros da

equação a uma potência conveniente, a fim de que possamos transformá-la em

uma equação racional, que já sabemos resolver.

Exemplo:

22

a) Resolver, no conjunto R, a equação x + 5 = x −1.

Nesta equação devemos ter x ≥ −5 para que, no conjunto dos números reais, a

expressão x + 5 tenha sentido.

( ) ( )

3 4 0

3 4 0 ( 1)

5 2 1 0

5 2 1

5 1

2

2

2

2

2 2

− − =

− + + = −

+ − + − =

+ = − +

+ = −

x x

x x

x x x

x x x

x x

(a =1, b = −3, c = −4)

25

9 16

( 3) 4 1 ( 4)

4

2

2

Δ =

Δ = +

Δ = − − ⋅ ⋅ −

Δ = b − ac

a

x b

2

− ± Δ

=

2 1

( 3) 25

⋅

− − ±

x = 4

2

8

2

3 5 = =

+

x′ =

2

3 ± 5

x =

1

2

2

2

3 5 = −

−

=

−

x′′ =

Determinamos as raízes da equação de 2º grau. Para determinar as raízes da

equação irracional dada, precisamos fazer uma verificação com os valores

obtidos para a variável x, pois, ao elevar os dois membros da equação ao

quadrado, podemos encontrar raízes estranhas à equação dada.

Verificação:

Para x = 4 :

3 3

9 3

4 5 4 1

5 1

=

=

+ = −

x + = x −

Para x =1:

2 2

4 2

1 5 1 1

5 1

≠ −

= −

− + = − −

x + = x −

Logo, apenas o número 4 verifica a equação irracional dada.

Então: S = {4}

􀃆 elevando os dois membros ao quadrado

23

Resolvendo sistemas de equações de 2º grau

Exemplo:

a) A diferença entre dois números reais é 10 e o produto deles, –16. Quais são

esses números?

Chamando de x e y esses números, temos: x − y =10 e x ⋅ y = −16.

Para determinar x e y devemos resolver o sistema de equações

16

10

= −

− =

xy

x y

x y

x y

= +

− =

10

10

10 16 0

10 16

(10 ) 16

16

2

2

+ + =

+ = −

+ ⋅ = −

= −

y y

y y

y y

xy

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

y2 +10y +16 = 0

(a =1, b =10, c =16)

36

100 64

10 4 1 16

4

2

2

Δ =

Δ = −

Δ = − ⋅ ⋅

Δ = b − ac

a

y b

2

− ± Δ

=

2 1

10 36

⋅

− ±

y = 2

2

4

2

y′ = −10 + 6 = − = −

2

y = −10 ± 6

8

2

16

2

10 6 = −

−

=

− −

y′′ =

24

Com os valores obtidos para y, determinamos x:

Para y = −2:

8

10 2

10 ( 2)

10

=

= −

= + −

= +

x

x

x

x y

Para y = −8:

2

10 8

10 ( 8)

10

=

= −

= + −

= +

x

x

x

x y

Logo, temos como solução do sistema os pares ordenados (8, –2) e (2, –8).

Então, S = {(8,−2),(2,−8)}